１．モンティ・ホール問題とは

　今回は弁理士や知財に全く関係ない趣味に近い話しです。
　モンティ・ホール問題というのをご存知でしょうか？
　数学の条件付き確率の問題の一種ですが、前提条件を多く設定することにより難解なものとした問題です。
　Wikipediaに掲載されている問題内容は下記のとおりです：

前提１：プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあり、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。
前提２：最初にプレーヤーが1つのドアを選択する。
前提３：上記選択の後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
前提４：プレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。

設問　：新車を当てるには、プレーヤーはドアを変更した方が好ましいか？

出典：Wikipedia「モンティ・ホール問題」

２．MECEについて

　モンティ・ホール問題の回答に行く前に、MECEについて説明します。
　MECEとは、英語のMutually Exclusive Collectively Exhaustiveの頭文字を取ったもので「モレなくダブりなく」という意味の略語です。
　例えば、系が要素Ａ及びＢで閉じている場合には、ＡでなければＢ、ＢでなければＡと特定することができます。
　つまり、Ａが定まればその瞬間にＢも特定できて、Ｂが特定できればＡもその瞬間に特定できるという考え方であり、系が閉じている中でのこの思考プロセスは非常に重要です。
　このようなMECE的な考え方が上記のモンティ・ホール問題の解決に役立ちます。

３．モンティ・ホール問題に対するMECE的解釈

　モンティ・ホール問題は、上記したように前提条件の多さが、問題の本質把握を困難にさせ、難解であるかのように見せかけたものです。
　具体的には、特に最後の設問「車を当てるには、プレーヤーはドアを変更した方が好ましいか？」という問いが、問題の本質把握を困難にさせる最大の要因です。
　
　そのため、特に前提１～３だけを見て何をしているか全体状況はどうなのかの本質を見抜く作業に入ります。

　まず、「前提１：プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあり、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる」についてですが、MECE的に考えれば、モンティ・ホール問題の系は閉じでおり、その結論は、「アタリ」か「ハズレ」かの２択しかないわけです。
　次に、「前提２：最初にプレーヤーが1つのドアを選択する」を考えます。
　この時点で、「アタリ」を引く確率は１／３、「ハズレ」を引く確率は２／３であることは、論を俟たないですね。
　次に、「前提３：上記選択の後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる」についてですが、これは、本質的には「ノーリスクでハズレを引ける」と読み替えすることができます。
　してみると、この前提１～３までを経た後の状態を総括すると、プレーヤーは「ハズレのドア２つを２／３の確率で引いてきている」と解釈できます。

　本問題の系はドア３つで閉じていますから、ハズレ（ドア２つ）が定まれば、アタリ（ドア１つ）もその瞬間に定まります。つまり、上記解釈は更に下記のように読み替えすることができます：
　「『アタリのドア１つを引けずにハズし、かつハズレのドア２つを引いてきている状態』の確率が、２／３である」（以下、最頻状態と呼ぶ）
　
　最後に「前提４：プレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる」についてですが、これが状況をひっくり返す手段なわけです。
　前提１～３までの結論として現在「最頻状態」状況にあるわけで、これを前提４の条件で「アタリのドア１つを引ける」に変えられるわけですね。

　してみると、プレーヤーとしては確率２／３「最頻状態」にある段階まできて、その確率２／３の状況の中で、全てのドアを引いたのと同じ状況を作ることができるわけです。

４．まとめ

　モンティ・ホール問題は、多くの前提条件を設定して、その本質の解釈を困難にしている問題です。
　しかしながら、前提条件を一つ一つ分解して読み替え、その本質を理解し、なおかつ状況（系）が閉じているのか開いているのかなどを、フレームワーク内及びその外などを含めて把握したならば、自ずと解は見えてきます。

　このような考え方は、日常生活や仕事でも非常に役立つ考え方であり、有用と思料します。
　みなさまも是非ともモンティ・ホール問題についていろいろ考えてみてください。